广东省 2025 年普通学校专升本考试

广东省 2025 年普通学校专升本考试

高等数学

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准考证号：
得分：

一、单项选择题

（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

1.
lim⁡x→0(ex+2)=_________\lim_{x \to 0} (e^x + 2) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_.
2.
已知函数 f(x)=x2f(x) = x^2 则 f′(1)=_________f'(1) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_.
3.
设函数 f(x)={x2,x≥1x,x<1f(x) = \begin{cases} x^2, x \ge 1 \\ x, x < 1 \end{cases}，则 f(x)f(x) 在 x=1x=1 处 _________\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
4.
定积分 ∫−11∣x∣dx=_________\int_{-1}^1 |x| dx = \_\_\_\_\_\_\_\_\_.
5.
交换二重积分积分 I=∫01dx∫0xf(x,y)dyI = \int_0^1 dx \int_0^x f(x,y) dy 的积分次序，则 I=_________I = \_\_\_\_\_\_\_\_\_.

二、填空题

（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

6.
已知 y=x2y = x^2, 则 dy=_________dy = \_\_\_\_\_\_\_\_\_.
7.
已知 y=(x−1)3y = (x - 1)^3, 则 y′′=_________y'' = \_\_\_\_\_\_\_\_\_.
8.
∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛, 则 lim⁡n→∞an=_________\lim_{n \to \infty} a_n = \_\_\_\_\_\_\_\_\_.
9.
已知 LL 是曲线 y=x2y = x^2 上点 (0,0)(0,0) 到点 (2,2)(\sqrt{2}, 2) 之间的弧长，曲线积分 ∫Lyds=_________\int_L \sqrt{y} ds = \_\_\_\_\_\_\_\_\_.
10.
若 f(x)=∫02xf(t2)dt+4f(x) = \int_0^{2x} f(\frac{t}{2}) dt + 4, 则 ∫0πf(x)sin⁡xdx=_________\int_0^\pi f(x)\sin x dx = \_\_\_\_\_\_\_\_\_.

三、计算题

（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分）

11.
求极限 lim⁡x→1x−1x2−1\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x^2-1}.
12.
求函数 f(x)=x−exf(x) = x - e^x 的极值.
13.
已知参数方程 {x=2t2+t+1y=t2+1\begin{cases} x = 2t^2 + t + 1 \\ y = t^2 + 1 \end{cases}, 求在 t=1t = 1 处的切线方程.
14.
求由方程 y+xey=1y + xe^y = 1 确定的隐函数导数 dydx∣x=0\frac{dy}{dx} |_{x=0}.
15.
求定积分 ∫0π2sin⁡xcos⁡xdx\int_0^\frac{\pi}{2} \sin x \cos x dx.
16.
判定级数 ∑n=1∞n23n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} 的收敛性.
17.
已知微分方程 (1+x4)y′′−4x3y′=0(1+x^4)y'' - 4x^3y' = 0, 且初始的条件为 y∣x=0=0,y′∣x=0=1y|_{x=0} = 0, y'|_{x=0} = 1, 求该微分方程的特解.
18.
计算二重积分 ∬D1+3x2+3y2dxdy\iint_D \sqrt{1 + 3x^2 + 3y^2} dxdy, 其中 DD 是平面区域 D={(x,y)∣x2+y2≤1}D = \{(x,y) | x^2 + y^2 \le 1\}.

四、综合题

（本大题共 2 小题，第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，共 22 分）

19.
已知多元函数 z=xln⁡(xy)z = x \ln(xy), (1) 求在 (e,1)(e, 1) 处的全微分; (2) 证明: x∂2z∂x2+y2∂3z∂y2∂x=0x \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + y^2 \frac{\partial^3 z}{\partial y^2 \partial x} = 0.
20.
已知 y=f(x)y = f(x) 在定义域 RR 上连续，且 lim⁡x→0f(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1, 又 g(x)={∫0xf(t)dtx,x≠0a,x=0g(x) = \begin{cases} \frac{\int_0^x f(t)dt}{x}, & x \ne 0 \\ a, & x = 0 \end{cases}, aa 为常数，且 g(x)g(x) 在 x=0x = 0 处连续，求: (1) f(0)f(0) 的值; (2) 判断 g′(x)g'(x) 在 x=0x = 0 处的连续性.